Question

【题目】已知数列为等比数列,公比为为数列的前项和.

(1)若求

(2)若调换的顺序后能构成一个等差数列,求的所有可能值；

(3)是否存在正常数使得对任意正整数不等式总成立?若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)17;

(2) 的所有可能值为;

(3) 存在正常数使得对任意正整数不等式总成立，且的取值范围为.

【解析】

先求出公比，再利用等比数列的前项和公式即可求解；

对所有调换的顺序分情况求解即可；

先化简不等式，然后以与1的大小比较分情况讨论即可.

（1） 由得，解得或（舍去），

（2） 当时，任何顺序都能构成一个等差数列；

若成一个等差数列，则，所以或；

若成一个等差数列，则，所以或；

若成一个等差数列，则，所以或；

若成一个等差数列，则，所以或；

若成一个等差数列，则，所以，

故的所有可能值为.

(3) 由为正常数，可知，故等价于.

当时，，,显然不满足题意；当时，,若，则，显然当，故不存在这样的；若，则，显然当，故只需，所以存在正常数使得对任意正整数不等式总成立，且的取值范围为.