Question

【题目】如图，平面平面，且，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线AB与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，过点A作，垂足为O，连接OD，证明，根据线面垂直的判定定理，证明平面AOD，再根据线面垂直的性质定理证明。

（Ⅱ）设点B在平面ADC上的投影为点H，则就是直线AB与平面ADC所成角.法一找直角三角形，利用勾股定理求得，从而求出，法二利用等体积法求出，从而求得；法三建立坐标系，利用向量法，求出平面的法向量，再根据利用向量法求夹角余弦值求得。

（Ⅰ）证明：过点A作，垂足为O，连接OD.

由，得，

而，，则与全等，

故，即，

而，故平面AOD ，

而平面AOD，故；

（Ⅱ）解法1：设点B在平面ADC上的投影为点H，

则就是直线AB与平面ADC所成角.

由AB=BC=BD，可知HA=HC=HD，点H为△ADC的外心

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故.

设，利用勾股定理等知识，求得 ，

因此，，

故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.

解法2：设点B在平面ADC上的投影为点H，

则∠BAH就是直线AB与平面ADC所成角.

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故，

设，利用，求得 ，

因此，，.

故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.

解法3：

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故 ，

建立如图的空间直角坐标系Oxyz，设，

则，，，.

于是，，， ，

设平面ADC的法向量为，则，即.

解得 ，

设所求线面角为，则， ，

因此，，故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.