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【题目】如图,平面平面,且.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求直线AB与平面所成角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)根据题意,过点A,垂足为O,连接OD,证明,根据线面垂直的判定定理,证明平面AOD,再根据线面垂直的性质定理证明

(Ⅱ)设点B在平面ADC上的投影为点H,则就是直线AB与平面ADC所成角.法一找直角三角形,利用勾股定理求得,从而求出,法二利用等体积法求出,从而求得;法三建立坐标系,利用向量法,求出平面的法向量,再根据利用向量法求夹角余弦值求得。

(Ⅰ)证明:过点A,垂足为O,连接OD.

,得

,则全等,

,即

,故平面AOD

平面AOD,故

(Ⅱ)解法1:设点B在平面ADC上的投影为点H

就是直线AB与平面ADC所成角.

AB=BC=BD,可知HA=HC=HD,点H为△ADC的外心

由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故.

,利用勾股定理等知识,求得

因此,

故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.

解法2:设点B在平面ADC上的投影为点H

则∠BAH就是直线AB与平面ADC所成角.

由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故

,利用,求得

因此,.

故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.

解法3:

由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故

建立如图的空间直角坐标系Oxyz,设

.

于是,

设平面ADC的法向量为,则,即.

解得

设所求线面角为,则

因此,,故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.

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