【题目】如图,平面平面,且,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线AB与平面所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根据题意,过点A作,垂足为O,连接OD,证明,根据线面垂直的判定定理,证明平面AOD,再根据线面垂直的性质定理证明。
(Ⅱ)设点B在平面ADC上的投影为点H,则就是直线AB与平面ADC所成角.法一找直角三角形,利用勾股定理求得,从而求出,法二利用等体积法求出,从而求得;法三建立坐标系,利用向量法,求出平面的法向量,再根据利用向量法求夹角余弦值求得。
(Ⅰ)证明:过点A作,垂足为O,连接OD.
由,得,
而,,则与全等,
故,即,
而,故平面AOD ,
而平面AOD,故;
(Ⅱ)解法1:设点B在平面ADC上的投影为点H,
则就是直线AB与平面ADC所成角.
由AB=BC=BD,可知HA=HC=HD,点H为△ADC的外心
由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故.
设,利用勾股定理等知识,求得 ,
因此,,
故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.
解法2:设点B在平面ADC上的投影为点H,
则∠BAH就是直线AB与平面ADC所成角.
由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故,
设,利用,求得 ,
因此,,.
故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.
解法3:
由(Ⅰ)知,就是直二面角的平面角,故 ,
建立如图的空间直角坐标系Oxyz,设,
则,,,.
于是,,, ,
设平面ADC的法向量为,则,即.
解得 ,
设所求线面角为,则, ,
因此,,故直线AB与平面ADC所成角的余弦值为.
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【题目】已知数列为等比数列,公比为为数列的前项和.
(1)若求
(2)若调换的顺序后能构成一个等差数列,求的所有可能值;
(3)是否存在正常数使得对任意正整数不等式总成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知函数
(1)当时,解不等式
(2)若关于的方程的解集中怡好有一个元素,求的取值范围;
(3)设若对任意函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
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【题目】湖北省第二届(荆州)园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办,本届园林博览会以“辉煌荆楚,生态园博”为主题,展示荆州生态之美,文化之韵,吸引更多优秀企业来荆投资,从而促进荆州经济快速发展.在此博览会期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入80元,设该公司一年内生产该设备万台,且全部售完,且每万台的销售收入(万元)与年产量(万台)的函数关系式近似满足
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万台)的函数解析式.(年利润年销售收入总成本).
(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求最大利润.
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【题目】给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.命题“若,则”的否命题是“若,则”
B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件
C.命题“,”的否定是“,”
D.命题“在中,若,则是锐角三角形”的逆否命题是假命题
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【题目】张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x=________;
②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_____.
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