Question

【题目】已知函数

（1）当时，解不等式

（2）若关于的方程的解集中怡好有一个元素，求的取值范围；

（3）设若对任意函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或或；（3）

【解析】

（1）当时，解对数不等式即可．

（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可．

（3）根据条件得到恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．

解：（1）当时，，

由，得，

即，

解得或，

即不等式的解集为或；

（2）由得．

即，

即，①

则，

即，②，

当时，方程②的解为，代入①，成立

当时，方程②的解为，代入①，成立

当且时，方程②的解为或，

若是方程①的解，则，即，

若是方程①的解，则，即，

则要使方程①有且仅有一个解，则．

综上，若方程的解集中恰好有一个元素，

则的取值范围是或或．

（3）函数在区间上单调递减，

由题意得，

即，

即即

设，则，

，

当时，，

当时，，

在上递减，

，

，

∴实数的取值范围是．