Question

【题目】已知抛物线 : 过点的直线交抛物线于两点，设

(1)若点 关于轴的对称点为，求证：直线经过抛物线 的焦点；

(2)若求当最大时，直线的方程．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【解析】试题分析：（1）设出P和Q的坐标，根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标，利用设出的坐标表示出和，根据，化简即可得到P和Q的横坐标，然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标，然后利用M，F和Q的坐标表示出向量，利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到=λ，所以得到直线MQ过F点；（2）由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1，由y12﹣y22=16x1x2=16，y1y2＞0，得到y1y2的值，利用两点间的距离公式表示出|PQ|2，然后把P和Q的横坐标及得到的y1y2的值及x1x2的值分别代入得到关于λ的关系式，配方后利用λ的范围求出λ+的范围，即可求出λ+的最大值，让其等于最大值解出此时λ的值，把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|2的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程．

详解：

（1）设

由抛物线C：得到F（1，0）

直线MQ经过抛物线C的焦点F；

（2）由（1）知

则

当 即 时， 有最大值，则的最大值为

此时

则直线的方程为：