Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为直角三角形且∠BAE=90°，AD⊥AE．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若AB=2AE=4，求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥DB，DB⊥AC，由此能证明DB⊥平面AEC，从而得到平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）作DE的中点F，连接OF，AF，由已知条件推导出∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角．由此能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，…（3分）
又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，…（4分）
所以DB⊥平面AEC，BD?面BED
故有平面AEC⊥平面BED．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE的中点F，连接OF，AF，
∵O是DB的中点，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角．…（8分）
设正方形ABCD的边长为4，
则AO=2

2

，…（9分）
∵∠BAE=90°，AB=2AE=4，
∴AE=2，EB=2

5

，∴OF=

5

…（10分）
又AD⊥AE，∴AF=

1

2

ED=

5

，∴cos∠FOA=

OF2+OA2-AF2

2OF×OA

=

5+8-5

2 5 ×2 2

=

8

4 10

=

10

5

∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为

10

5

…（12分）
（3）解：V_A-BDE=V_D-ABE=

1

3

S△ABE×AD=

1

3

×

1

2

AE×AB×AD=

1

3

×

1

2

×AB2×AE=

1

6

AB2×AE．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法以及三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．