Question

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=

7

．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点O，连结DO，则四边形BCDO为矩形，得到CD⊥OD，连结SO，推出SO⊥CD，即可证明CD⊥SD．
（2）距离空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SDC的法向量，平面SBC的法向量，利用空间向量的数量积，求二面角B-SC-D的余弦值．

解答： 解：（1）如图取AB中点O，连结DO，则四边形BCDO为矩形，∴CD⊥OD，…．…（2分）
连结SO，则SO⊥AB，…（3分）∵AB∥CD，∴SO⊥CD…（4分）
∴CD⊥平面SOD，∴CD⊥SD…（6分）
（2）依题意，SO=

3

，而SD=

7

，DO=CB=2，故SD²=SO²+OD²，
∴SO⊥OD，
又SO⊥AB，且OD⊥AB，所以可建立如图空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S(0，0，

3

)
所以

DC

=(1，0，0)，

SC

=(1，2，-

3

)，

BC

=(0，2，0)
设平面SDC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
平面SBC的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
∴

m • DC =0 m • SC =0

，即

x1=0 x1+2y1- 3 z1=0

，
令y1=

3

，则z₁=2，于是

m

=(0，

3

，2)

又

n • BC =0 n • SC =0

，即

2y2=0 x2+2y2- 3 z2=0

，
令x2=

3

，则z₂=1，于是

n

=(

3

，0，1)…．…（10分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

7

7

．…．…．（11分）
故二面角B-SC-D的余弦值为-

7

7

．…..…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．