Question

下列命题中，正确的是

 

（1）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程是y=x-1；
（2）函数y=

16-2x

的值域是[0，4]；
（3）已知

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈(π，

3π

2

)，则

a

⊥

b

；
（4）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinC

)，λ∈（0，+∞），则直线1过三角形的内心．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：（1）直接利用导数求得切线方程判断（1）；
（2）由指数函数的值域求得无理函数的值域判断（2）；
（3）利用平面向量的数量积运算结合同角三角函数的基本关系式判断（3）；
（4）由平面向量的几何意义分析（4）．

解答： 解：对于（1），由y=lnx，得y′=

1

x

，则y′|_x=1=1，曲线在点（1，0）处的切线方程是y=x-1，命题正确；
对于（2），∵2^x＞0，∴-2^x＜0，
∴函数y=

16-2x

的值域是[0，4），命题错误；
对于（3），已知

a

=(sinθ，

1+cosθ

)，

b

=(1，

1-cosθ

)，其中θ∈(π，

3π

2

)，则

a

•

b

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0，
∴

a

⊥

b

，命题正确；
对于（4），O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinC

)，λ∈（0，+∞），
则

OP

=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
∵

AB

| AB |

，

AC

| AC |

分别表示

AB

，

AC

方向上的单位向量，
∴

AB

| AB |

+

AC

| AC |

的方向与∠BAC的角平分线一致，
∵

OP

=

OA

+2Rλ(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)，
∴

AP

=2Rλ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
∴

AP

的方向与∠BAC的角平分线一致，
则直线1一定通过三角形的内心，命题正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量的数量积运算，训练了平面向量的应用，是中档题．