Question

已知函数f（x）=x²-2cosθx+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]
（1）当θ=

π

3

时，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．
（3）若sinα，cosα是方程f（x）=

1

4

+cosθ的两个实根，求

tan2α+1

tanα

的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,二次函数的性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）当θ=

π

3

时，f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-

3

2

，

1

2

]，再利用二次函数的性质求得f（x）的最值．
（2）由条件利用二次函数的性质可得cosθ≥

1

2

或cosθ≤-

3

2

 （舍去），结合θ∈[0，2π），求得θ的取值范围．
（3）由条件利用韦达定理可得 sinα+cosα=2cosθ，sinαcosα=

3

4

-cosθ．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ=

-1+ 11

4

，可得

tan2α+1

tanα

=

1

sinαcosα

 的值

解答： 解：（1）当θ=

π

3

时，∵f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴当x=

1

2

时，f（x）取得最小值为

3

4

，当x=-

3

2

时，f（x）取得最大值为

7+2 3

4

．
（2）若f（x）=x²-2cosθx+1在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调函数，
则有cosθ≥

1

2

或cosθ≤-

3

2

 （舍去），
结合θ∈[0，2π），求得θ的取值范围为[0，

π

3

]∪[

5π

3

，2π）．
（3）若sinα，cosα是方程f（x）=

1

4

+cosθ的两个实根，即sinα，cosα是方程x²-2cosθx+

3

4

-cosθ=0的两个实根，
∴sinα+cosα=2cosθ，sinαcosα=

3

4

-cosθ．
∴1+2（

3

4

-cosθ）=4cos²θ，解得cosθ=

-1+ 11

4

，
∴

tan2α+1

tanα

=

1

sinαcosα

=

1

3 4 -cosθ

=

1

3 4 - -1+ 11 4

=

16+4 11

5

．

点评：本题主要考查二次函数的性质，同角三角函数的基本关系，属于中档题．