Question

设二次函数f(x)＝x²＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x₁和x₂满足0<x₁<x₂<1.
(1)求实数a的取值范围；
(2)试比较f(0)·f(1)－f(0)与的大小，并说明理由

Answer 1

法一：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x²＋(a－1)x＋a，
则由题意可得
?
⇒0<a<3－2.
故所求实数a的取值范围是(0,3－2)．
(2)f(0)·f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a²，令h(a)＝2a²，
∵当a>0时，h(a)单调递增，∴当0<a<3－2时，
0<h(a)<h(3－2)＝2(3－2)²＝2(17－12)
＝2·<，即f(0)·f(1)－f(0)<.
法二：(1)同解法一．
(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a²，由(1)知
0<a<3－2，
∴4a－1<12－17<0.又4a＋1>0，于是
2a²－＝(32a²－1)＝(4a－1)(4a＋1)<0，
即2a²－<0，故f(0)f(1)－f(0)<.
法三：(1)方程f(x)－x＝0?x²＋(a－1)x＋a＝0，由韦达定理得x₁＋x₂＝1－a，x₁x₂＝a，于是0<x₁<x₂<1
??
?0<a<3－2.
故所求实数a的取值范围是(0,3－2)．
(2)依题意可设g(x)＝(x－x₁)(x－x₂)，则由0<x₁<x₂<1，得f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝x₁x₂(1－x₁)(1－x₂)＝[x₁(1－x₁)][x₂(1－x₂)]<²²＝，故f(0)f(1)－f(0)<.

略