Question

【题目】已知函数f (x)＝ex＋2x2－3x.

(1)求证：函数f (x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．

(2)当x≥时，若关于x的不等式f (x)≥ x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）由题意得到ex-，x2-ax-1≥0，构造g（x）=ex-x2-ax-1，分类讨论求出g（x）的最值，即可得到a的范围．

详解：(1)f ′(x)＝ex＋4x－3,

∵f ′(0)＝e0－3＝－2<0,f ′(1)＝e＋1>0,

∴f ′(0)·f ′(1)<0.

令h(x)＝f ′(x)＝ex＋4x－3,则h′(x)＝ex＋4>0,

∴f ′(x)在区间[0,1]上单调递增,

∴f ′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点,

∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．

(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1,得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1,即ax≤ex－x2－1,

∵x≥,∴a≤

令g(x)＝,则g′(x)＝

令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1,则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥,∴φ′(x)>0.

∴φ(x)在[,＋∞)上单调递增．∴φ(x)≥φ()＝－>0.

因此g′(x)>0,故g(x)在[,＋∞)上单调递增,

则g(x)≥g()＝＝2－,∴a的取值范围是a≤2－.