Question

已知：f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）c为何值时，ax²+bx+c≤0的解集为R．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根，利用根与系数的关系得到关于a，b的方程组，解出系数；（2）由（1）知道a＜0，可知只需△≤0，
即  25-12c≤0，由此求得c的值．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为x∈（-3，2），
∴-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根，
∴

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，且a＜0，可得 

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）由a＜0，知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，要使不等式-3x²+5x+c≤0的解集为R，只需△≤0，
即 25+12c≤0，故 c≤-

25

12

．
∴当c≤-

25

12

 时，不等式ax²+bx+c≤0的解集为R．

点评：本题考查二次函数、一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．