Question

已知函数f（x）=

x-a

x-2a

（a∈R）
（1）若a=0，解不等式|f（x）|＞1；
（2）解关于x的不等式f（x）≥-1．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）要解的不等式等价转化为|x-2|＜2，x≠2，由此求得它的解集．
（2）不等式等价转化为

(a+1)x-4

x-2

≥0，即[（a+1）x-4]（x-2）≥0且x≠2，分类讨论求得它的解集．

解答： 解：（1）|f（x）|＞1?|

-2

x-2

|＞1?

2

|x-2|

＞1?|x-2|＜2，x≠2?-2＜x-2＜2，x≠2，
故解得原不等式的解集为（0，2）∪（2，4）．
（2）原式?

ax-2

x-2

+1≥0?

ax-2+x-2

x-2

≥0?

(a+1)x-4

x-2

≥0?[（a+1）x-4]（x-2）≥0且x≠2，
当a+1＜0，即a＜-1时，原不等式?(x-

4

a+1

)(x-2)≤0且x≠2，解得

4

a+1

≤x＜2．
当a+1=0，即a=-1时，原不等式?x-2＜0⇒x＜2．
当a+1＞0，即a＞-1时，原不等式?(x-

4

a+1

)(x-2)≥0且x≠2，
?当-1＜a＜1时，2＜

4

a+1

，解出x＜2或x≥

4

a+1

；
?当a=1时，?（x-2）²≥0且x≠2⇒x≠2；
?当a＞1时，2＞

4

a+1

，解出x＞2或x≤

4

a+1

．
综上：当a＜-1时，原不等式的解集为{x|

4

a+1

≤x＜2}；
当a=-1时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当-1＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x≥

4

a+1

或x＜2}；
当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|x≤

4

a+1

或x＞2}；

点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．