Question

已知等比数列{a_n}的公比为q（0＜q＜1），且a₂+a₅=

9

8

，a₃a₄=

1

8

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设该等比数列{a_n}的前n项和为S_n，正整数m，n满足

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，求出所有符合条件的m，n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由等比数列的性质联立方程组求得首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）求出等比数列的前n项和，代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，整理后转化为2＜2ⁿ（4-m）＜6，结合2ⁿ为偶数，4-m为整数得到2ⁿ（4-m）=4．从而求得m，n的值．

解答： 解：（1）∵a₃a₄=a₂a₅，a₂+a₅=

9

8

，a₃a₄=

1

8

．
∴

a2+a5= 9 8 a2a5= 1 8

，解得

a2=1 a5= 1 8

或

a2= 1 8 a5=1

，
∴

a1=2 q= 1 2

或

a1= 1 16 q=2

（舍）．
∴an=2•(

1

2

)n-1；
（2）Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，得

4(1-( 1 2 )n)-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理得：2＜2ⁿ（4-m）＜6．
由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，故只能是2ⁿ（4-m）=4．
∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

．
解得：m=2，n=1或m=3，n=2．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的和，训练了数列不等式的解法，考查了学生的灵活思维能力，是中档题．