Question

已知f（x）=-4ax²+4ax-4a-a²在[0，1]内有最大值-5，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）=-4a (x-

1

2

)2-3a-a² 的对称轴方程为 x=

1

2

∈[0，1]，再分当a＜0时和当a＞0时两种情况，分别根据在[0，1]内有最大值-5，求得a的值，综合可得结论．

解答： 解：依题意知，a≠0，所以f（x）=-4ax²+4ax-4a-a²=-4a (x-

1

2

)2-3a-a² 的对称轴方程为 x=

1

2

∈[0，1]，
当a＜0时，-4a＞0，f（x）在[0，1]内的最大值为f（0）=-4a-a² =-5，求得a=-5，或a=1（舍去）．
当a＞0时，-4a＜0，f（x）在[0，1]内的最大值为f（

1

2

）=-3a-a² =-5，
求得a=

-3+ 29

2

，或a=

-3- 29

2

（舍去），
综上可得，a=-5或a=

-3+ 29

2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．