Question

已知函数f（x）=x-lnx，求：
（1）此函数的定义域；
（2）此函数的单调区间；
（3）此函数在区间[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据对数函数定义即可求出函数的定义域，
（2）求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（3）先判断函数在[

1

e

，e]的单调性，继而求出最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞）
（2）由f′（x）=0得x=1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；      
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；    
（3）由（2）知，函数f（x）在[

1

e

，1]上递减，在（1，e]上递增，
∴当x=1是函数f（x）的最小值点，f（1）=1-0=1
故f（x）的最小值是1．

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系以，会熟练运用导数解决函数的最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间