Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=2

3

，点A、B、C、D在球O上，球O与BA₁的另一个交点为E，与CD₁的另一个交点为F，AE⊥BA₁，则球O表面积为（　　）

• A、6π
• B、8π
• C、12π
• D、16π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：连结EF，DF，说明三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．

解答：解：连结EF，DF，易证得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，
∵AB=2，AA₁=2

3

，
∴tan∠ABA₁=

3

，即∠ABA₁=60°，
又AE⊥BA₁，∴AE=

3

，BE=1，
∴球O的半径R=

1

2

22+12+( 3 )2

=

2

，
球O表面积为：4πR²=4π(

2

)2=8π．
故选：B．

点评：点评：本题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．