Question

【题目】设函数，，其中恒不为0.

（1）设，求函数在x＝1处的切线方程；

（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；

（3）设，是否存在实数a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，请求出实数a，b满足的条件；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在；a＝0，b≠0符合题意

【解析】

（1）根据，得到，求导，得到，，写出切线方程.

（2）根据是函数与的公共极值点，则有，解得，令，用导数法研究只有一个零点即可.

（3）根据在上无零点，分当a＝0，b≠0， ，三种情况讨论求解.

（1）因为，

所以，，，，

故在x＝1处的切线方程为：；

（2），，

由题意知，解得，

令，x＞0，，

时，；时，，

故在递减，递增，

又时，，故在(0，1)上无零点，

，，故，

又在递增，因此，在(1，e)上存在唯一零点，

∴存在且唯一；

（3）由题意知：在上无零点

当a＝0时，则b≠0，，符合题意；

又，则b(a＋b)＞0，故b≠0.

当a≠0时，要使在上无零点，显然ab＞0

在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，，

时，时，，

时，，，故，

因此，时，，与题意不符，舍去；

时，时，，

时，，，故，

因此，时，，与题意不符，舍去；

综上，存在a＝0，b≠0符合题意.