Question

【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）先求得平面PBC的一个法向量，易知平面PAD的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（1） 设BC的中点为E，由AB＝AC，可知AE⊥BC，

故分别以AE，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系

则A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，－2，0)，C(，2，0)．

设θ为两直线所成的角，

由＝(，－2，－4)，＝(－，1，0)，

得cosθ＝＝.

（2） 设＝(x,y,z)为平面PBC的法向量，

＝(，－2，－4)，＝(，2，－4)，

·＝0，·＝0，

即

取平面PBC的一个法向量＝(4，0，)，

平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)．

设α为两个平面所成的锐二面角的平面角，则cosα＝＝.

所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.