【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当(
为自然对数的底数),
时,若方程
有两个不等实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;(2)
【解析】
(1)分别在和
两种情况下,根据
的正负确定
的单调性;
(2)将问题转化为当时,
与
有两个不同交点的问题,通过导数可求得
的单调性和最值,进而得到函数图象,通过数形结合的方式可确定
的范围.
(1)由题意得:定义域为
,
,
当时,
,则
在
上单调递减;
当时,令
,解得:
,
当
时,
;当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述:当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)当时,
有两个不等实根,方程可化为
,
令,则
,
令,则
,
当时,
,即
<0
在
上单调递减,
,且
在
上有且仅有一个零点
,
当
时,
,即
;当
时,
,即
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,
由此可得图象如下图所示:
则当时,方程
有两个不等实数根等价于当
时,
与
有两个不同交点,
由图象可知:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知圆Q:(x+2)2+(y-2)2=1,抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,过F且与l垂直的直线l'与圆Q有交点.
(1)求直线l'的斜率的取值范围;
(2)求△AOB面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,在
中,
,
为
的中点,四边形
是等腰梯形,
,
.
(Ⅰ)求异面直线与
所成角的正弦值;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正切值.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,且过点
.
(1)求C的方程;
(2)若直线l与C有且只有一个公共点,l与圆x2+y2=6交于A,B两点,直线OA,OB的斜率分别记为k1,k2.试判断k1k2是否为定值,若是,求出该定值;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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