【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式,并证明:
.
(2)已知,且函数
与函数
的图象交于
,
两点,且线段
的中点为
,证明:
.
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【题目】如图,椭圆
的左右焦点分别为的
、
,离心率为
;过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
、
两点,当
时,
点在
轴上的射影为
。连结
并延长分别交
于
、
两点,连接
;
与
的面积分别记为
,
,设
.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线
的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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【题目】已知两条抛物线C:y2=2x,E:y2=2px(p>0且p≠1),M为C上一点(异于原点O),直线OM与E的另一个交点为N.若过M的直线l与E相交于A,B两点,且△ABN的面积是△ABO面积的3倍,则p=_____
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【题目】在无穷数列中,
,记
前
项中的最大项为
,最小项为
,令
.
(1)若的前
项和
满足
.
①求;
②是否存在正整数满足
?若存在,请求出这样的
,若不存在,请说明理由.
(2)若数列是等比数列,求证:数列
是等比数列.
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【题目】已知函数f(x)=(k+)lnx+
,k∈[4,+∞),曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为
A. (,+∞) B. (
,+∞) C. [
,+∞) D. [
,+∞)
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【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
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