【题目】在无穷数列中,
,记
前
项中的最大项为
,最小项为
,令
.
(1)若的前
项和
满足
.
①求;
②是否存在正整数满足
?若存在,请求出这样的
,若不存在,请说明理由.
(2)若数列是等比数列,求证:数列
是等比数列.
【答案】(1)①;②存在,
,
或
;(2)证明见解析
【解析】
(1)①根据,先求出
,再由
,求出
,即可得出
;
②先假设存在满足条件的正整数满足题意,得出
,设
,研究其增减性,设
,得
,设
,研究其增减性,进而可得出结果;
(2)因为,且
、
分别为
前
项中的最大项和最小项,所以
,
,设数列
的公比为
,显然
,分别讨论
,
,
,三种情况,即可得出结果.
解:①在中,令
,得
,解得
,∴
,
当时,
,
综上.
显然为单调递增数列,所以
,
,所以
.
②假设存在满足条件的正整数,则
,所以
,
设,则
,所以
,
由,得
,∴
,则
,
当时,
显然不成立,
当时,
,
设,则
,
,得
,
设,则
恒成立,
所以数列单调递减,而
,
,
,则
时,
恒成立,
故方程的解有且仅有
,
或
,
,
故满足条件的存在,
,
或
.
(2)证明:因为,且
、
分别为
前
项中的最大项和最小项,
所以,
,设数列
的公比为
,显然
,
①当时,
,得
,
若,则
,由
与
的含义可知
与
不可能同时成立,
故,则
,则
,
,∴
,∴
,
所以数列是等比数列.
②当时,
,得
,
∴,∴
恒成立,而
,所以
,∴
恒成立,
∴,
,代入
得
,即
,
所以数列是等比数列.
③当时,
,得
,
∴,∴
恒成立,而
,所以
,∴
恒成立,
∴,
,代入
得
,即
,
所以数列是等比数列.
综上①②③,数列是等比数列.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,A、B为椭圆C:短轴的上、下顶点,P为直线l:y=2上一动点,连接PA并延长交椭圆于点M,连接PB交椭圆于点N,已知直线MA,MB的斜率之积恒为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线MN与x轴平行,求直线MN的方程;
(3)求四边形AMBN面积的最大值,并求对应的点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是( ).(取
,
)
A.16B.17C.24D.25
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行也越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:4≤t≤15,N,平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位:人)与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系:
,其中
.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人,试求发车时间间隔t的值.
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为(单位:元),问当发车时间间隔t为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?井求出最大净收益.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com