Question

【题目】如图，A、B为椭圆C：短轴的上、下顶点，P为直线l：y＝2上一动点，连接PA并延长交椭圆于点M，连接PB交椭圆于点N，已知直线MA，MB的斜率之积恒为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线MN与x轴平行，求直线MN的方程；

（3）求四边形AMBN面积的最大值，并求对应的点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）四边形AMBN面积的最大值为，对应的点P的坐标为(，2)

【解析】

（1）根据题意有A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，根据直线MA，MB的斜率之积恒为，即求解.

（2）根据题意设M(m，n)，则N(﹣m，n)，，联立求解，令求解.

（3）设P(t，2)，t≠0，与椭圆联立得，求得 的坐标，同理求得的坐标，然后由S四边形AMBN求解.

（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，则

，

因此，椭圆C的标准方程为：；

（2）设M(m，n)，则N(﹣m，n)，

则，

联立解得，所以，故直线MN的方程为：；

（3）设P(t，2)，t≠0，

与椭圆联立得解得或，，

同理或

所以S四边形AMBN

令，则S四边形AMBN，

，故在上递减，

故，即，即时，，

即S四边形AMBN的最大值为

因此，四边形AMBN面积的最大值为，对应的点P的坐标为(，2).