Question

【题目】已知函数在处取得极值．

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，证明.

参考数据：.

Answer 1

【答案】(1) ；在递减，在递增.(2)见证明

【解析】

（1）根据条件可得，解出m代入f'（x）中，然后判断写出单调区间即可；

（2）将问题转化为g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立，求出g（x）的最小值，然后由g（x）min≥0，可得ab≤a﹣aea﹣1，然后构造函数h（x）＝x﹣xex﹣1（x＞0），求出h（x）的最大值即可证明ab．

解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+1，∴f'（x）（x＞0），

∵f（x）在x处取得极值，∴， ∴m＝0，

∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，

∵当0＜x时，f'（x）＜0；当x时，f'（x）＞0，

∴f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，）

（2），即.

记，则，由，得.

所以.

由，得，于是，其中.

记，则，，

显然时，，即在时单调递减，因为，，

所以存在，使，即.且在单调递增，在单调递减，

所以，，

令，上述函数变形为，，在单调递增，

所以，即，故也即成立.