Question

【题目】如图，在中，，，，现沿的中位线将翻折至，使得二面角为.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由已知可得，进而证平面，即可证明结论；

（2）取中点，连，则，求与平面所成角即可，由（1）得平面平面，在平面内过作于，连，可得平面，为与平面所成的角，解即可，或建立空间直角坐标系，用向量法求解.

（1）因为，，所以，，

，所以平面，

平面，所以.

（2）解法一：取中点，在平面内过作于，

连接，由（1）可知，平面，∴平面平面，

∴平面，∴为与平面所成的角，

由（1）可知

为二面角的平面角，即，

且，∴，

∵，，

∴，

在中，，

在中，，

∵，∴直线与平面所成角的正弦值也为.

解法二：由（1）得平面，因为，所以平面，

以为原点，，分别为，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

设平面的法向量为，

由，即，，

令，则，所以，

设与平面所成角为，

则.

∴直线与平面所成角的正弦值也为.