Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，公比q=

λ

1+λ

（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）设函数f（x）满足f(1)=

1

6

，f(x)+f(1-x)=

1

2

，设Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，求T_n关于n的表达式及

lim

n→∞

Tn

n

的值．

Answer 1

分析：（1）由已可求，an=(

λ

1+λ

)n-1，利用等比数列的求和公式可求
（2）由已知，Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…f(

n-1

n

)+f(1)及f(1)=

1

6

，f(x)+f(1-x)=

1

2

，利用倒序相加可求T_n，代入可求极限

解答：解：（1）由已知q≠0且q≠1，所以an=(

λ

1+λ

)n-1（n∈N*），…（1分）
所以Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( λ 1+λ )n

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]=(1+λ)-λ(

λ

1+λ

)n-1，（5分）
即S_n=（1+λ）-λa_n．…（6分）
（2）由已知，Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…f(

n-1

n

)+f(1)①
又Tn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…f(

2

n

)+f(

1

n

)+f(1)②…（8分）
因为f(1)=

1

6

，f(x)+f(1-x)=

1

2

，将①、②两式相加，得，2Tn=(n-1)•

1

2

+

1

3

=

3n-1

6

．…（11分）
所以Tn=

3n-1

12

．…（12分）
所以

lim

n→∞

Tn

n

=

lim

n→∞

3n-1

12n

=

1

4

．…（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，数列求和的倒序求和方法的应用，数列极限的求解，解题的关键是要知道倒序求和适用的试题类型