Question

已知函数的定义域为，且的图象连续不间断. 若函数满足：对于给定的（且），存在，使得，则称具有性质.
（Ⅰ）已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数 若具有性质，求的最大值；
（Ⅲ）若函数的定义域为，且的图象连续不间断，又满足，
求证：对任意且，函数具有性质.

Answer 1

（Ⅰ）具有该性质,证明见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）证明见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ）创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的（且），
存在，使得，按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设，令
,解得,满足定义,故具有性质P(3);（Ⅱ）m在0到1之间,取一半,看是
否具有性质P(),如果有,再判断是否有大于的m,没有的话,最大值就是;（Ⅲ）构造函数
，则,……=
-,相加,有,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.
试题解析：（Ⅰ）设，即
令, 则
解得,
所以函数具有性质
（Ⅱ）m的最大值为.
首先当时，取,
则，,
所以函数具有性质,
假设存在，使得函数具有性质, 
则,
当时，，，,
当时，，，,
所以不存在，使得,
故的最大值为.
（Ⅲ）任取,
设，其中,
则有
,
,
……
,
……
,
以上各式相加得：,
当中有一个为时，不妨设为，
即,
则函数具有性质,
当均不为时，由于其和为，则必然存在正数和负数，
不妨设其中，