【题目】如图,是圆
的直径,点
是圆
上异于
的点,直线
平面
,
分别是
的中点.
(1)记平面与平面
的交线为
,试判断直线
与平面
的位置关系,并加以证明;
(2)设(1)中的直线与圆
的另一个交点为
,且点
满足
.记直线
与平面
所成的角为
,异面直线
与
所成的角为
,二面角
的大小为
,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;
【解析】
(1)直线平面PAC. 连接EF,利用三角形的中位线定理可得,EF
AC,再利用线面平行的判定定理即可得到
平面ABC,再由线面平行的性质定理可得EF
,再利用线面平行的判定定理即可证明直线
平面PAC;
(2)以点为原点,向量
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,利用平面的法向量和直线的方向向量可得出线面角,两个直线的方向向量可得出线线角,两个平面的法向量的夹角即可得出二面角,从面即可证明结论.
(1)直线平面
,证明如下:
连接EF,因为分别是
的中点,所以EF
AC,
又平面
,且
平面
,
所以平面
,
而平面
,且平面
平面
,
所以EF,
又因为平面
,
平面
,
所以直线平面
(2) 由题意得:,作
,且
,
连接,由(1)可知交线
即为直线
,
以点为原点,向量
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系( 如图):
设,则有
所以:,
又取平面的一个法向量为
,
,
设平面的法向量为
,
所以由可得
,令
,
则,
,
,
故,
即
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【题目】滕州市公交公司一切为了市民着想,为方便市区学生的上下学,专门开通了学生公交专线,在学生上学、放学的时间段运行,为了更好地掌握发车间隔时间,公司工作人员对滕州二中车站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究,现得到如下数据:
间隔时间 | 10 | 11 | 13 | 12 | 15 | 14 |
侯车人数 | 23 | 25 | 29 | 26 | 31 | 28 |
调查小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据不相邻的概率;
(2)若选取的是前两组数据,请根据后四组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差均不超过1人,则称为最佳回归方程,在(2)中求出的回归方程是否是最佳回归方程?若规定一辆公交车的载客人数不超过35人,则间隔时间设置为18分钟,是否合适?
参考公式:,
.
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【题目】对有个元素的总体
进行抽样,先将总体分成两个子总体
和
(
是给定的正整数,且
),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用
表示元素
和
同时出现在样本中的概率.
(1)求的表达式(用
,
表示);
(2)求所有的和.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
(
且
).
(I)求直线的极坐标方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线
上的一点,
是曲线
上的一点,
,
,若
的最大值为2,求
的值.
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【题目】如图,已知抛物线,在
轴正半轴上有一点
,过点
作直线
,
分别交抛物线于点
,过点
作
垂直于
轴分别交
于点
.当
,直线
的斜率为1时,
.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知直线l的参数方程为曲线C的参数方程为
.
(1)求曲线C的右顶点到直线l的距离;
(2)若点P的坐标为(1,1),设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA||PB|的值.
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【题目】已知圆,圆
,如图,
分别交
轴正半轴于点
.射线
分别交
于点
,动点
满足直线
与
轴垂直,直线
与
轴垂直.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
交曲线
与点
,射线
与点
,且交曲线
于点
.问:
的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
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