Question

17．已知函数f（x）=e^x+ax．
（I）若f（x）在x=0处的切线过点（2，-1），求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）令a=1，F（x）=xf（x）-x²，若F（x₁）=F（x₂）（x₁≠x₂），证明：x₁+x₂＜-2．

Answer 1

分析 （I）求出原函数的导函数利用导数求出f（x）在x=0处的切线方程，由切线过点（2，-1）可求a的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，然后对a分类求解函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）由题意求得F（x）=xf（x）-x²=xe^x，求出函数F（x）的单调区间，可得在x=-1时，F（x）取得极小值和最小值．然后再构造辅助函数，借助于导数证明结论．

解答 （1）解：由f（x）=e^x+ax，得f′（x）=e^x+a，
f（0）=1，f′（0）=a+1，
∴f（x）在x=0处的切线为y=（a+1）x+1，
∵f（x）在x=0处的切线过点（2，-1），
∴-1=2（a+1）+1，解得a=-2；
（2）解：∵f′（x）=e^x+a，
当a≥-e时，f′（x）=e^x+a≥0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当a＜-e时，由f′（x）=e^x+a=0，得e^x=-a，x=ln（-a），
∴当x∈（1，ln（-a））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（3）证明：当a=1时，f（x）=e^x+x，
F（x）=xf（x）-x² =xe^x+x²-x²=xe^x，
F′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
由F′（x）=0，得x=-1，
∴当x∈（-∞，-1）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数；
当x∈（-1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．
在x=-1时，F（x）取得极小值和最小值．
又当x趋近于-∞时，F（x）负向趋近于0，且F（0）=0，
∴如果存在x₁≠x₂，使得F（x₁）=F（x₂），不失一般性令x₁＜x₂，则x₁＜-1，-1＜x₂＜0．
对于任意的x∈（-1，0），分别取两点-1-x、-1+x．
现在比较F（-1-x）和F（-1+x）的大小．
F（-1-x）-F（1+x）=（-1-x）e^-1-x-（-1+x）e^-1+x=$\frac{-[（1+x）+（1-x）{e}^{2x}]}{{e}^{1+x}}$，
令g（x）=-（1+x）-（1-x）e^2x，x∈（-1，0）．
有g′（x）=-1+（2x-1）e^2x，x∈（0，1）．
当x=0时，g′（x）=0；
当x＜0时，-1+（2x-1）e^2x单调递间且小于0．
∴在（-1，0）上g（x）是单调减函数，且g（x）＜g（0）=0，
有F（-1-x）-F（-1+x）＜0，
即F（-1+x）＞F（-1-x），
∵-1＜-1-x＜0，-1+x＜-1，F（x）在（-∞，-1]上单调递减且F（-1+x）＞F（-1-x），
在-1+x点的左侧必能找到一点x₂，使得F（-1-x）=F（x₂），x₂＜-1+x．
故（-1+x）+x₂＜（-1+x）+（-1-x）=-2
令-1+x=x₁，
则为x₁+x₂＜-2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属压轴题．