Question

14．如图所示，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）取G为AD边的中点，连接PG，证明PG⊥AD，BG⊥AD，即可证明AD⊥平面PGB，然后证明AD⊥PB．
（2）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，通过证明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可证明平面DEF⊥平面ABCD．

解答 （2）证明：取G为AD边的中点，连接PG，
因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，
所以PG⊥AD，
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
因为PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，
所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力，逻辑推理能力．