Question

9．如图，四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，侧棱PA⊥平面ABCD，E是PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BED；
（2）求证：PC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由题意易得EO为中位线，EO∥PC，即可得证PC∥平面BED．
（2）由底面ABCD是菱形，可得：BD⊥AC，由侧棱PA⊥平面ABCD，可得：BD⊥PA，从而可证BD⊥平面PAC，即可得证PC⊥BD．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，E是PA的中点．
∴△PAC中，EO为中位线，EO∥PC，
∵EO?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED．
（2）∵底面ABCD是菱形，可得：BD⊥AC，
∵侧棱PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得：BD⊥PA，
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴PC⊥BD．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，直线与直线垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．