Question

20．对于函散y=f（x）（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递增或单凋递减：
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）是闭函数．
给出下面四个函数：
（1）f（x）=x³，x∈R；
（2）f（x）=2^x-1．x∈R；
（3）f（x）=x²-4x+5，x∈[0，2]；
（4）f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，x∈[0，1]，
其中为闭函数的有（1）（2）（3）（4）（把你认为正确的函数序号都填上）．

Answer 1

分析 根据闭函数的定义，利用函数的单调性，结合定义域和值域的关系确定是否存在满足条件的区间[a，b]即可．

解答 解：f′（x）=3x²≥0，∴f（x）=x³在R上是增函数，
设f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={a}^{3}=a}\\{f（b）={b}^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，则当a=-1，b=1时，满足条件．
∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数f（x）=x³是闭函数．
（2）f（x）=2^x-1在R上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={2}^{a}-1=a}\\{f（b）={2}^{b}-1=b}\end{array}\right.$，则当a=0，b=1时，满足条件．
即f（x）=2^x-1．x∈R在[0，1]上是闭函数．
（3）f（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1，
则函数在x∈[0，2]是减函数，
当x=1时，f（1）=2，当x=2时，f（2）=1，
即存在区间[1，2]满足条件，即f（x）=x²-4x+5，在[1，2]上是闭函数；
（4）当x∈[0，1]，则x∈[0，$\frac{π}{2}$]，此时函数为增函数，
此时函数的值域为[0，1]，即f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，存在区间[0，1]使得函数f（x）是闭函数，
综上为闭函数的（1）（2）（3）（4），
故答案为：（1）（2）（3）（4）

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及新定义，根据条件进行推理判断是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．