Question

3．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 判断参数a+2的取值，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
若a+2=0，即a=-2时，f（x）=lnx，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞），
若a+2＜0，即a＜-2时，f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞），
若a+2＞0，即a＞-2时，f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a+2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（a+2）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x-（a+2）＞0，即x＞a+2，此时函数单调递增，递增区间为（a+2，+∞），
由f′（x）＜0得x-（a+2）＜0，即0＜x＜a+2，此时函数单调递减，递减区间为（0，a+2）．
综上若a≤-2，则函数的单调递增区间为（0，+∞），
若a＞-2，则函数的单调递增区间为（a+2，+∞），单调递减区间为（0，a+2）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解和判断，利用函数单调性的性质以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．