Question

已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

Answer 1

[解析]　(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|

＝

当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；

所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则

h(x)＝

∵a>1，

∴x≤0时，h(x)＝－2a<－2，x≥a时，h(x)＝2a>2，

而已知不等式|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

∴不等式|h(x)|≤2化为

即

 [点评]　第(2)问是求解的难点，可借助图象帮助理解．作出h(x)的图象如图．

∵a>1，|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

∴|h(x)|≤2，即|4x－2a|≤2.

此不等式的解集为{x|1≤x≤2}．