Question

已知函数f（x）=

3

acos²

ωx

2

+

1

2

asinωx-

3

2

a（ω＞0，a＞0在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．
（1）求ω与a的值；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=（ωx+

π

3

），由已知可求T，即可求得ω的值，由图象可知，正三角形△ABC的高即为函数f（x）的最大值a，即可得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，即可求cos（

π

4

x₀+

π

3

）的值，由f（x₀+1）=2

3

（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）=2

3

sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]展开即可求值得解．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得f（x）=a（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）=asin（ωx+

π

3

）
∵BC=

T

2

=4，
∴T=8，
∴ω=

2π

8

=

π

4

由图象可知，正三角形△ABC的高即为函数f（x）的最大值a，
得a=

3

2

BC=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
即sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀∈（-

10

3

，

2

3

），
∴

π

4

x₀+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

1-( 4 5 )2

=

3

5

∴f（x₀+1）=2

3

（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）
=2

3

sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]
=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]
=2

3

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）
=

7 6

5

．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变形的应用，属于基本知识的考查．