Question

已知△ABC的顶点B（-1，-3），AB边上的高线CE所在直线的方程为x-3y-1=0，BC边上中线AD所在直线的方程为8x+9y-3=0．
（1）求直线AC的方程；
（2）求三角形面积．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,三角形的面积公式

专题：直线与圆

分析：（1）根据垂直关系算出直线CE的斜率，利用点斜式给出直线AB方程并整理，得AB方程为3x+y+6=0．由AD方程与AB方程联解，可得A（-3，3），结合中点坐标公式解方程组算出C（4，1）．最后用直线方程的两点式列式，整理即得直线AC的方程．
（2）由A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），得

AB

=（2，-6），

AC

=（7，-2），先求出cos＜

AB

，

AC

＞，再求出sin＜

AB

，

AC

＞=

1-( 13 265 )2

=

4 6

265

，由此利用公式S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin＜

AB

，

AC

＞，能求出三角形面积．

解答： 解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为

1

3

，
∴直线AB的斜率k=

-1

1 3

=-3，
∴直线AB的方程为y+3=-3（x+1），即3x+y+6=0，
由

3x+y+6=0 8x+9y-3=0

，解得

x=-3 y=3

，
∴A点的坐标为（-3，3），
设D（a，b），可得C（2a+1，2b+3）
∴

8a+9b-3=0 2a+1-3(2b+3)-1=0

，解得

a= 3 2 b=-1

，
因此D（

3

2

，-1），从而可得C（4，1），
∴直线AC的方程为：

y-3

1-3

=

x+3

4+3

，
化简整理，得直线AC的方程为：2x+7y-15=0．
（2）由（1）得A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），
∴

AB

=（2，-6），

AC

=（7，-2），
∴cos＜

AB

，

AC

＞=

26

40 • 53

=

13

265

，∴sin＜

AB

，

AC

＞=

1-( 13 265 )2

=

4 6

265

，
∴S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin＜

AB

，

AC

＞=

1

2

×

40

×

53

×

4 6

265

=4

6

．
∴三角形面积为4

6

．

点评：本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．