Question

已知△ABC的面积为2，且满足0＜

AB

•

AC

≤4，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,数量积表示两个向量的夹角,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；
（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ-

π

3

），由θ的范围和三角函数公式可得．

解答： 解：（1）由题意可得

AB

•

AC

=cbcosθ，
∵△ABC的面积为2，∴

1

2

bcsinθ=2，
变形可得cb=

4

sinθ

，
∴

AB

•

AC

=cbcosθ=

4cosθ

sinθ

=

4

tanθ

，
由0＜

AB

•

AC

≤4，可得0＜

4

tanθ

≤4
解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，
∴向量夹角θ的范围为[

π

4

，

π

2

）；
（2）化简可得f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ
=2×

1-cos( π 2 +2θ)

2

-

3

cos2θ
=1+sin2θ-

3

cos2θ=1+2sin（2θ-

π

3

）
∵由（1）知θ∈[

π

4

，

π

2

），∴2θ-

π

3

∈[-

π

6

，

2π

3

），
∴sin（2θ-

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴1+sin（2θ-

π

3

）∈[

1

2

，2]，
∴f（θ）的取值范围为：[

1

2

，2]

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．