Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n，n为奇数 an-3n，n为偶数

（I）求证：数列{a_2n-

3

2

}是等比数列；
（II）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求满足S_n＞0的所有正整数n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设b_n=a_2n-

3

2

，则b1=a2-

3

2

=-

1

6

，

bn+1

bn

=

a2n+2- 3 2

a2n- 3 2

=

1

3

，由此能证明数列{a2n-

3

2

}是以-

1

6

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由b_n=a_2n-

3

2

=-

1

6

•（

1

3

）^n-1=-

1

2

•（

1

3

）ⁿ，得a2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

，从而a_2n-1+a_2n=-2•（

1

3

）ⁿ-6n+9，由此能求出S_2n．从而能求出满足S_n＞0的所有正整数n．

解答： （Ⅰ）证明：设b_n=a_2n-

3

2

，则b1=a2-

3

2

=（

1

3

a1+1）-

3

2

=-

1

6

，

bn+1

bn

=

a2n+2- 3 2

a2n- 3 2

=

1 3 (a2n-6n)+(2n+1)- 3 2

a2n- 3 2

=

1 3 a2n- 1 2

a2n- 3 2

=

1

3

，
∴数列{a2n-

3

2

}是以-

1

6

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b_n=a_2n-

3

2

=-

1

6

•（

1

3

）^n-1=-

1

2

•（

1

3

）ⁿ，
∴a2n=-

1

2

•(

1

3

)n+

3

2

，
由a_2n=

1

3

a2n-1-3（2n-1），
得a_2n-1=3a_2n-3（2n-1）=-

1

2

•（

1

3

）^n-1-6n+

15

2

，
∴a_2n-1+a_2n=-

1

2

•[（

1

3

）^n-1+（

1

3

）ⁿ]-6n+9
=-2•（

1

3

）ⁿ-6n+9，
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=-2[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]-6（1+2+3+…+n）+9n
=(

1

3

)n-1-3n2+6n
=（

1

3

）ⁿ-3（n-1）²+2．
由题意得n∈N^*时，{S_2n}单调递减，
又当n=1时，S₂=

7

3

＞0，当n=2时，S₄=-

8

9

＜0，
∴当n≥2时，S_2n＜0，S_2n-1=S_2n-a_2n=

3

2

•(

1

3

)n-

5

2

-3n2+6n，
同理，当且仅当n=1时，S_2n+1＞0，
综上所述，满足S_n＞0的所有正整数n为1和2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．