Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值-

2

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，证明：f（x₁）-f（x₂）≤

4

3

．

Answer 1

（1）可知b=d=0，（2分）
所以f′（x）=3ax²+c
可知

f′1=0 f1=- 2 3

⇒

3a+c=0 a+c=- 2 3

⇒

a= 1 3 c=-1

，
经检验知：f（x）=

1

3

x³-x（4分）
（2）即证f（x）_max-f（x）_min≤

4

3

（6分）
因为f′（x）=x²-1，所以x∈[-1，1]时f′（x）≤0，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
所以f（x）_max=f（-1）=

2

3

，f（x）_min=f（1）=-

2

3

，
所以f（x）_max-f（x）_min≤

4

3

，
从而对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤

4

3

，（10分）