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已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0.
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
(Ⅰ)∵f'(x)=3x2+2ax,而曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0
∴f'(2)=0…(4分)
∴3×4+4a=0∴a=-3…(6分)
(Ⅱ)f(x)=x3-3x2+2,f'(x)=3x2-6x
令f'(x)=0得x1=0,x2=2…(9分)
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表
x-1(-1,0)0(0,2)2(2,3)3
f'(x)+0-0+
f(x)-22-22
…(11分)
从上表可知,最大值是2,最小值是-2.…(12分)
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