Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（1）若AA₁⊥AD，求证：AD⊥DC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AD⊥BC，AD⊥CC₁，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC₁B₁，即可证明AD⊥DC₁；
（2）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD，则O为A₁C的中点，证明OD∥A₁B，可得A₁B∥平面ADC₁．

解答： 证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）
因为AA₁⊥AD，AA₁∥CC₁，所以AD⊥CC₁，…（4分）
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（6分）
因为DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁  …（7分）
（2）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD，则O为A₁C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A₁B  …（9分）
因为OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，…（12分）
所以A₁B∥平面ADC₁ …（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．