Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD，PA=2AB，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（　　）

• A、24π
• B、8π
• C、6π
• D、36π

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，连接AC，BD相交于点O₁．取PC的中点，连接OO₁．利用三角形的中位线定理可得OO₁∥PA．由于PA⊥底面ABCD，可得OO₁⊥底面ABCD．可得点O是四棱锥P-ABCD外接球的球心，PC是外接球的直径．

解答： 解：如图所示，
连接AC，BD相交于点O₁．取PC的中点，连接OO₁．
则OO₁∥PA．
∵PA⊥底面ABCD，
∴OO₁⊥底面ABCD．
可得点O是四棱锥P-ABCD外接球的球心．
因此PC是外接球的直径．
∵PC²=PA²+AC²=42+(2

2

)2=24．
∴四棱锥P-ABCD外接球的表面积为24π．
故选：A．

点评：本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．