Question

【题目】已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R． （Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＞ （e+1）a，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得x∈（0，+∞）； 当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx， = ；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）；
（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=x2＞0，显然符合题意；
②当a＞0时，当 时；
f（x）＜1+a+alnx ，不符合题意；
③当a＜0时，则 ；
对于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；
∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x0∈（0，+∞），使得 ；
即f′（x0）=0；
∴0＜x＜x0时，f′（x）＜0，x＞x0时，f′（x）＞0；
∴f（x）min=f（x0）= = = ；
∵ ，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；
∴0＜x0＜e；
由 得， ；
设y= ，y′= ；
∴函数 在（0，e）上单调递减；
∴ ；
综上所述，实数a的取值范围
【解析】（Ⅰ）a=﹣1时，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通过求导，根据导数符号即可判断出f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论a的取值：a=0时，容易得出满足题意；a＞0时，会发现函数x2+ax在（0，+∞）上单调递增，让 ＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx ，从而这种情况不存在；当a＜0时，通过求导，容易判断出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，从而判断出f（x）的最小值f（x0），再由条件f（x） 便可得到x0∈（0，e），并根据f′（x0）=0，可求出 ，从而求出a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．