【题目】已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心位于轴正半轴上,与直线相切,且被轴截得的弦长为,圆的面积小于13.
(1)求圆的标准方程;
(2)若点,点是圆上一点,点是的重心,求点的轨迹方程;
(3)设过点的直线与圆交于不同的两点,,以,为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线,使得直线与恰好平行?如果存在,求出的方程;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)见解析
【解析】
(1)利用点到直线的距离公式,结合勾股定理,建立方程,根据圆C的面积小于13,即可求圆C的标准方程;(2)设点的坐标为,点的坐标为,由重心坐标公式得到,结合,代入得到轨迹方程;(3)分类讨论,设出直线方程与圆的方程联立,利用判别式大于0得到或利用韦达定理以及中点坐标公式得到中点坐标为,由,则,解得,即可得出结论.
(1)设圆:,由题意知,
解得或.
又∵,∴,∴圆的标准方程为.
(2)设点的坐标为,点的坐标为,由已知得:
,即,又,
所以,即为所求.
(3)当斜率不存在时,直线的方程为,不满足题意.
当斜率存在时,设直线的方程为,,.
又∵直线与圆相交于不同的两点,联立,消去得.
∴,解得或.
,.
∴中点坐标为.
在平行四边形中,则,
由于,则,∴,解得.
但,假设不成立.∴不存在这样的直线.
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【题目】设是定义在正整数集上的函数,且满足:当成立时,总可推出
成立,那么下列命题总成立的是( )
A. 若成立,则成立;
B. 若成立,则成立;
C. 若成立,则当时,均有成立;
D. 若成立,则当时,均有成立.
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【题目】已知奇函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣3,﹣1)
B.(﹣1,1)∪(1,3)
C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
D.(﹣3,1)∪(2,+∞)
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【题目】观察下列方程,并回答问题:
①;②;③;④;…
(1)请你根据这列方程的特点写出第个方程;
(2)直接写出第2009个方程的根;
(3)说出这列方程的根的一个共同特点.
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【题目】函数f(x)= ,直线y=m与函数f(x)的图象相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依次记为a,b,c,d,有以下四个结论 ①m∈[3,4)
②abcd∈[0,e4)
③a+b+c+d∈
④若关于x的方程f(x)+x=m恰有三个不同实根,则m取值唯一.
则其中正确的结论是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【题目】已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R. (Ⅰ)若当a=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)> (e+1)a,求a的取值范围.
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【题目】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为(,且);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )
A. 每场比赛第一名得分为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
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