Question

【题目】已知点是双曲线的左右焦点，其渐近线为，且其右焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求双曲线的方程；

（2）过的直线与相交于两点，直线的法向量为，且，求的值

（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由焦点坐标和渐近线方程可构造关于的方程，解方程求得结果即可得到双曲线方程；

（2）由直线法向量可得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式；利用可构造关于的方程，解方程求得结果；

（3）由的值可得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得；设，由已知等式可用表示出，代入双曲线方程可求得，进而得到点坐标；利用点到直线距离公式求得的高，从而求得三角形的面积.

（1）由题意知：抛物线的焦点为

则，解得： 双曲线的方程为：

（2）由直线的法向量可得其方向向量

由得：

设，，则

由

解得：

（3）将代入式化简得：，此时

设，由得：

在双曲线上 ，解得：或

位于第四象限

，又，即

到直线的距离