【题目】已知函数有如下性质:该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
(1)已知,利用上述性质,求函数
的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数
,若对任意
,总存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)减区间为,增区间为
,值域
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)设 ,构造函数
,利用该函数在
上递增,在
上递减,结合复合函数的单调性,可得函数
的单调区间和值域;(2)若对任意
,总存在
,使得
成立,等价于
的值域是函数
的值域的子集,分别求出
的值域与函数
的值域,利用包含关系,列不等式组求解即可.
试题解析:(1)
设u=x+1,x∈[0,3],1≤u≤4,
则, u∈[1,4].
由已知性质得,当1≤u≤2,即0≤x≤1时,f(x)单调递减;
所以减区间为[0,1];当2≤u≤4,即1≤x≤3时,f(x)单调递增;
所以增区间为[1,3] ;由f(1)=4,f(0)=f(3)=5,得f(x)的值域为[4,5].
(2)g(x)=2x+a为增函数,故g(x)∈[a,a+6],x∈[0,3].由题意,f(x)的值域是g(x)的值域的子集,∴ , ∴
.
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【题目】已知椭圆C的方程为 +
=1(a>b>0),双曲线
﹣
=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为4
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F1 , F2分别为椭圆C的左,右焦点,过F2作直线l(与x轴不重合)交于椭圆于A,B两点,线段AB的中点为E,记直线F1E的斜率为k,求k的取值范围.
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【题目】已知函数(
,
)的一系列对应值如表:
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果:
①当时,方程
恰有两个不同的解,求实数
的取值范围;
②若,
是锐角三角形的两个内角,试比较
与
的大小.
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【题目】已知半径为的圆的圆心在
轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与圆相交于
两点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦
的垂直平分线
过点
,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由
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【题目】已知函数f(x)=2 sin(x+)。
(1)若点P(1,-)在角
的终边上,求:cos
和f(
-
)的值;
(2)若x [
,
],求f(x)的值域。
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【题目】在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(﹣1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
A.1 193
B.1 359
C.2 718
D.3 413
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【题目】“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.通过研究,发现该型烟花爆裂时距地面的高度(单位:米)与时间
(单位:秒)存在函数关系,并得到相关数据如表:
时间 | 1 | ||
高度 |
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度与时间
的变化关系:
,
,
,确定此函数解析式并简单说明理由;
(2)利用你选取的函数,判断烟花爆裂的最佳时刻,并求此时烟花距地面的高度.
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【题目】把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的函数解析式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
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