Question

设函数，其中

(1)求在的单调区间；

(2)当时，求最小值及取得时的的值.

 

Answer 1

(1) 为单调递增区间，为单调递减区间；

(2)当≥3时，当=3时，取最小值，当＜3时，当时，取最小值

【解析】

试题分析：(1)先求出的导函数，由＞0解出的区间即为增区间，由＜0解出的区间即为减区间； (2)将分成大于等于3与小于3两类，当大于等于3时，由（1）知在[1,3]是单调递减函数，利用函数单调性即可求出在[1,3]上的最小值及对应的值；当小于3时，由（1）知在[1, ]是减函数，在[,3]是增函数，故当=时，取最小值，即可求得最小值.

试题解析：（1）的定义域为， 1分

令，得

令，得或 2分

令，得 3分

故为单调递增区间，为单调递减区间. 5分

（2）因为，所以

（ⅰ）当时，由（１）知，在[１，3]上单调递减， 7分

所以在时取得最小值， 8分

最小值为： 9分

（ⅱ）当时，

由（Ⅰ）知，在[0，]上单调递减，在[，３]上单调递增， 11分

所以在处取得最小值，最小值为： 12分

又， 13分

所以当时，在处取得最小值；

当时，在处取得最小值. 14分

考点:常见函数的导数；函数单调性与导数的关系；函数的最值；分类整合思想