Question

【题目】已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数m和n的值；

(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）实数m和n的值分别是2和0（2）在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．

【解析】试题分析：（1）先根据奇函数定义得f(－x)＝－f(x)，解得n＝0.再由f(2)＝得m＝2，（2）利用单调性定义，先作差，因式分解变形成因子形式，再根据各因子符号确定差的符号，最后根据符号关系确定单调性

试题解析：解：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－＝.

比较得n＝－n，则n＝0.

又∵f(2)＝，

∴＝，

解得m＝2，故实数m和n的值分别是2和0.

(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．

证明如下：由(1)可知f(x)＝＝＋.

设x1<x2<0，

则f(x1)－f(x2)＝ (x1－x2)＝

(x1－x2)·.

当x1<x2≤－1时，x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1>0，

则f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

故函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；

当－1<x1<x2<0时，

x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1<0.

则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

故函数f(x)在(－1,0)上为减函数．