【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD.M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)求证:MN⊥平面PCD;
(3)求二面角B—PC—D的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)120°.
【解析】
(1)取PD中点Q,连接NQ,AQ,则四边形MNQA是平行四边形,从而得到MN//AQ,由线面平行判定定理得MN//平面PAD;
(2)先证得AQ⊥平面PDC,由(1)得MN//AQ,从而得MN⊥平面PCD;
(3)过B作BH⊥PC于H,连接HD,BD.由已知条件得△PBC≌△PDC,从而得DH⊥PC,进而得∠BHD是二面角B—PC—D的平面角,在中,利用余弦定理求得∠BHD即可.
(1)证明:取PD中点Q,连接AQ,NQ,在△PCD中, N,Q分別为PC,PD的中点,
所以NQ//CD,且NQ=CD,因为底面ABCD是正方形,且M为AB中点,所以AM//CD,且AM=
CD,
所以AM//NQ,且AM=NQ,所以四边形AMNQ是平行四边形,所以MN//AQ,
又因为AQ平面PAD,MN
平面PAD,所以MN//平面PAD.
(2)证明:因为底面ABCD是正方形,所以CD⊥AD,且PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,
又因为AD平面PAD,PA
平面PAD,AD
PA=A,所以CD⊥平面PAD,
因为AQ平面PAD,所以CD⊥AQ,因为PA=AD,Q是PD中点,所以AQ⊥PD,
又因为CD平面PCD,PD
平面PCD,CD
PD=D,所以AQ⊥平面PCD.
由(1)得MN//AQ,所以MN⊥平面PCD.
(3)过B作BH⊥PC于H,连接HD,BD,因为PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AD,
设PA=AD=a,则PB=PD=a,又因为CB=CD=a,PC=PC,所以△PBC≌△PDC,
因为BH⊥PC,所以DH⊥PC,所以∠BHD是二面角B—PC—D的平面角.
由(2)CD⊥平面PAD,又为PD平面PAD,所以CD⊥PD,所以BH=HD=
,
在中,
,所以∠BHD=120°,
所以二面角B—PC—D的大小为120°.
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【题目】如图所示,在正方体中,点
是棱
上的一个动点,平面
交棱
于点
.给出下列命题:
①存在点,使得
//平面
;
②对于任意的点,平面
平面
;
③存在点,使得
平面
;
④对于任意的点,四棱锥
的体积均不变.
其中正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆:
的离心率为
,椭圆
上一点
到左右两个焦点
、
的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆
交于
、
两点,且两点与左右顶点不重合,若
,求四边形
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程bx+a;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠?
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2020年寒假是特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合计 | 120 |
(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为,求出
的分布列及期望值.
参考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法中正确的是( )
A.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据
,其线性回归方程是
,且
,则实数
的值是
B.正态分布在区间
和
上取值的概率相等
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1
D.若一组数据的平均数是2,则这组数据的众数和中位数都是2
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