Question

9．在数列{b_n}中，已知b₁=0，b_n+1=3b_n+2．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求{（2n-1）b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得数列{b_n+1}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式可得数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{b_n}的通项公式代入{（2n-1）b_n}，分组后利用等差数列的求和公式及错位相减法求得{（2n-1）b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）b_n+1=3b_n+2，得b_n+1+1=3（b_n+1），
∵b₁+1=1，∴$\frac{{b}_{n+1}+1}{{b}_{n}+1}=3$，即数列{b_n+1}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
则${b}_{n}+1={3}^{n-1}$，
∴${b}_{n}={3}^{n-1}-1$；
（2）∵（2n-1）b_n =（2n-1）（3^n-1-1）=（2n-1）•3^n-1-（2n-1），
∴数列{（2n-1）b_n}的前n项和${S}_{n}=[1•{3}^{0}+3•{3}^{1}+…+（2n-1）•{3}^{n-1}]$-[1+3+…+（2n-1）]
=${T}_{n}-\frac{n（1+2n-1）}{2}={T}_{n}-{n}^{2}$．
由${T}_{n}=1•{3}^{0}+3•{3}^{1}+…+（2n-1）•{3}^{n-1}$，
得$3{T}_{n}=1•{3}^{1}+3•{3}^{2}+…+（2n-3）•{3}^{n-1}+（2n-1）•{3}^{n}$，
∴$-2{T}_{n}=1+2（{3}^{1}+{3}^{2}+…+{3}^{n-1}）-（2n-1）•{3}^{n}$=$1+2×\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n-1）•{3}^{n}$，
∴${T}_{n}=（n-1）•{3}^{n}+1$．
则${S}_{n}=（n-1）•{3}^{n}-{n}^{2}+1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．