Question

4．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）将函数f（x）图象上的所有点向左平行移动$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角共公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$+sin2x，故函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π，
最大值为$\frac{3}{2}$+1=$\frac{5}{2}$．
（2）将函数f（x）图象上的所有点向左平行移动$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）=$\frac{3}{2}$+sin2（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$+sin（2x+$\frac{2π}{3}$） 的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．